Ayrık Sinyaller

Ayrık Sinyaller

İÇİNDEKİLER (CONTENTS)

Önsöz (Preface) ..................................... v

1 ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLERDEN YENİDEN VERİ OLUŞTURMA

(Sampling and data reconstruction)....................................1

1.1 Sürekli Zaman Bölgesinde Örnekleme (Sampling in the time domain)......1

1.2 Fourier Dönüşümü ve Yeniden Veri Oluşturulması (Fourier transform in

time domain and data reconstrucktion).........................3

1.2.1 Örnekleme ve Nyquist-Shannon Teoremi ....................5

2 AYRIK (ZAMAN) SİSTEMLERİ VE TÜRLERİ

[Discrete (time) systems and their types]..............................11

2.1 Fark Denklemleri ve Çözümleri (Difference equations and their solutions).....15

2.1.1 Geleneksel Çözüm Yaklaşımı (Traditional solution) ..............15

2.1.2 Yinelemeli Çözüm Yaklaşımı (Iterative/Recursive solution) .......17

2.2 Ayrık Sistemler ve Sınıflandırılmaları (Classification of discrete systems).....21

2.2.1 Belleksiz Ayrık Sistem (Memoryless discrete system) .........22

2.2.2 Bellekli Ayrık Sistem (Discrete system with memory) ..............22

2.2.3 Nedensel Ayrık Sistem [Causal/nonanticipatory discrete (time) system].......23

2.2.4. Doğrusal/Lineer Ayrık Sistem (Linear discrete system).............24

2.2.5 Ötelemeden Bağımsız Ayrık Sistem (Shift Invariant or shift-fixeddiscretesystems)...25

2.2.6 Ayrık (Zaman) Dinamik/Devingen Sistem [Discrete (time) dynamic(al) system]....27

2.2.7 Kararlı Ayrık Sistem (Stable discrete system)..........28

2.2.8 Deterministik/Belirlenimci Ayrık (Zaman) Sistem(i) [Discrete (time)

deterministic system] .........28

2.2.9 Tersi Alınabilir Ayrık Sistem (Reciproke discrete system)..........28

2.2.10 Rastgele/Olasılıksal Ayrık Sistem [Discrete (time) random/stochastic system] ..29

2.2.11 Kapalı Çevrim-Geri Beslemeli Ayrık Sistem (Feedback discrete system)....29

2.2.12 Çoklu Giriş Çoklu Çıkış-Çok Değişkenli AyrıkSistem [Multiple Input Multiple

Output (MIMO) discrete system]........................29

2.2.13 Etken/Aktif ve Edilgen/Pasif Ayrık Sistem (Discrete time active

and passive system)................30

2.2.14 Analog Ayrık Sistem [Analog(ue) discrete system].........31

2.2.15 Sayısal/Digital Ayrık Sistem [Discrete digital System]...........31

2.3 Ayrık (Zaman) Sistemlerinin Matematiksel Modelleri [Mathematical modelling of

discrete (time) systems]...............................31

3 AYRIK ZAMAN SİNYALLERİ VE TÜRLERİ

(Discrete time signals and their types) ...............33

3.1 Ayrık Zaman Sinyalleri (Discrete time signals............33

3.1.1 Ayrık Zaman Analog Sinyalleri [Discrete time analog(ue) signals]............34

3.1.2 Ayrık Zaman Sayısal/Digital Sinyalleri (Discrete time digital signals)............34

3.1.3 Ayrık Zaman Karmaşık Sinyalleri (Discrete time complex signals) ..............35

3.1.4 Ayrık Zaman Gerçek Sinyalleri (Discrete time real signals)........38

3.1.4.1 Gerçek Üstel Ayrık Sinyaller (Real exponential discrete signals)..........38

3.1.4.2 Sinüzoidal-Sinüs Biçimli Ayrık Sinyaller (Sinusoidal discrete signals)......39

3.1.5 Ayrık Zaman Deterministik/Belirlenimci Sinyaller

(Discrete time deterministic signals)..........................40

3.1.6 Ayrık Zaman Rastgele/Olasılıksal Sinyaller

(Discrete time random/stochastic signals)....................40

3.1.7 Ayrık Zaman Çift ve Tek Sinyalleri (Discrete time even and odd signals)......40

3.1.8 Ayrık Zaman Periyodik ve Aperiyodik/Nonperiyodik Sinyaller

(Discrete time periodic and nonperiodic/aperiodic signals)............42

3.1.9 Nedensel Ayrık Sinyaller (Causal discrete signals)................44

3.1.10 Ayrık Zaman Sinyalinin Erkesi/Enerjisi ve Ayrık Zaman Erke/Enerji Sinyali

(Energy of a discrete time signal and discrete time energy signal) .........45

3.1.11 Ayrık Zaman Sinyalinin Gücü ve Ayrık Zaman Güç Sinyali (Power of a

discrete time signal and discrete time power signal) ...................46

3.1.12 Ayrık Zaman Ortogonal/Dikgen Sinyaller ve Sinyal Uzayları

(Discrete time orthogonal signals and signal spaces) .................48

3.2 Ayrık Zaman Temel Sinyalleri (Discrete time elementary signals)...........49

3.2.1 Kronecker Delta Fonksiyonu (Kronecker delta function).........49

3.2.2 Ayrık Birim Basamak Dizisi/Fonksiyonu ve Ayrık Signum Fonksiyonu

(Discrete time unit step Sequence and discrete signum function).........50

3.2.3 Ayrık Birim Rampa Fonksiyonu ve Ayrık Üçgen Fonksiyon

(Discrete unit ramp and triangular function)......................53

3.2.4 Karmaşık Üstel Dizi, Periyodikliği ve Ayrık Üstel İtki (Complex exponential

sequence, its periodicity and discrete exponential pulse)................54

3.3 Ayrık Zaman Sinyallerinin Kronecker Delta Fonksiyonu ile Ağırlaştırılmış

Toplam olarak Gösterimi (Presentation of discrete time signals as weighted

sum of Kronecker delta functions).....................................55

4 AYRIK KATLANMA VE KATLANMA CEBRİ

(Discrete convolution andconvolution algebra in discrete time case).............56

4.1 Kronecker Delta İtki Tepkisi-Tepki Fonksiyonu ve Ayrık Sistem Özellikleri

(Kronecker delta impulse response and its properties) ...........56

4.2 Ayrık Zaman Sistemlerinin Kararlılığı (Stability of discrete time systems)...........60

4.3 Ayrık Katlanma ve Katlanma Cebri (Discrete convolution and convolutionAlgebra).......66

4.4 Ayrık Birim Basamak Dizisi Tepkisi ve Bu Dizinin Kronecker Delta Fonksiyonlar

Toplamı Olarak Gösterimi (Presentation of discrete unit step function as sum of

Kronecker Delta functions) ...................................70

4.5 Ayrık Sistemlerin Ardışık/Seri ve Paralel Bağlanması (Connection of

discrete systems in series and paralel)............................78

5 AYRIK ZAMAN SİNYALLERİ VE SİSTEMLERİNİN FOURIER

ANALİZİ I AYRIK FOURIER SERİSİ

(Fourier Analysis of Discrete Time Signals and Systems I-Discrete Fourier Series)...80
5.1 Periyodik Dizilerin Ayrık Fourier Serisi Açılımı (Discrete Fourier series

expansion of periodic sequences)....................80

5.2 Ayrık Fourier serisinin bakışımı/simetrisi (Symmetry of discrete Fourier series)..83

5.3 Trigonometrik Fourier Serisinin İzgesel/Spektral/Harmonik Gösterimi (Spectral

representation or harmonic form of trigonometric Fourier series)..........85

5.4 Karmaşık/üstel (veya karmaşık üstel) Ayrık Fourier serisi [Discrete Fourier series in
complex/exponential form (or complex exponential discrete Fourier series)].......87

5.5 Karmaşık Ayrık Fourier Serisinin Özellikleri (Properties of complex discrete

Fourier Series) ..........................................92

5.5.1 Ayrık Fourier Katsayılarının Periyodikliği (periodicity of discrete Fouriercoefficients).........92

5.5.2 Karmaşık Ayrık Fourier Katsayılarının Eşlekliği/İkilikliği (Duality of discrete

Fourier coefficients)........................93

5.5.3 Karmaşık Ayrık Fourier Serisinin Diğer Özelliği (Other property of complex

discrete Fourier series)....................94

5.5.4 Çift ve Tek Diziler (Even and odd sequences)............................94

5.5.5 Parseval Teoremi/Özdeşliği (Parseval’s theorem/identity)........95

5.5.6 Karmaşık/Üstel Ayrık Fourier Serisi ve Çizgisel İzge/Spektrum

(complex/exponential discrete Fourier series and line Spectra).....96

6 AYRIK ZAMAN SİNYALLERİ VE SİSTEMLERİNİN FOURIER

ANALİZİ II: FOURIER DÖNÜŞÜMÜ, TERS FOURIER DÖNÜŞÜMÜ

(Fourier analysis of discrete time signals and systems: Fourier transform and

inverse Fourier transform) ......................................100

6.1 Dizilerin Fourier Dönüşümü (Fourier transform of sequences)..........100

6.1.1 Fourier Dönüşümünün Özellikleri (Properties of Fourier transform)............103

6.1.1.1 Periyodiklik (Periodicity)..................103

6.1.1.2 Doğrusallık-Toplamsallık (Linearity-superposition).....................104

6.1.1.3 Zaman Bölgesinde Ötelenme Özelliği (Time shifting property)..............104

6.1.1.4 Frekans Bölgesinde Ötelenme Özelliği (Frequency shifting property).........104

6.1.1.5 Karmaşık bir Dizinin Karmaşık Eşleniğinin Ayrık Fourier Dönüşümü

(Discrete Fourier transform of complex conjugate form of a complexsequence)......105

6.1.1.6 Zamanda Tersinme (Time reversal)...............105

6.1.1.7 Zaman Ölçekleme (Time scaling)........................105

6.1.1.8 Eşleklik/İkilik (Duality)...................................106

6.1.1.9 Frekansa Göre Türev Alma (Differentiation in frequency) ..............106

6.1.1.10 Dizi ve Ötelenen Dizinin Farkının Fourier Dönüşümü

(Fourier transform of difference of a series and its shifted form)...................107

6.1.1.11 Birikme (Accumulation) .....................................................107

6.1.1.12 Katlanma/Evrişim (Convolution)..............................................107

6.1.1.13 Çarpma (Multiplication)...............................................................108

6.1.1.14 Bazı Ek Özellikler (Some additional properties).......................108

6.1.1.15 Parseval İlişkisi ve Teoremi/Özdeşliği

(Parseval relation and theorem/identity)....................................111

6.2 Fourier Dönüşümü Kullanarak Ayrık Zaman Sistem Analizi & Frekans (Tepki)

Fonksiyonu [Discrete time system analysis and frequency (response)

function using Fourier Transform]............................................112

6.3 Fark Denklemleriyle Tanımlanan Doğrusal, Zamandan Bağımsız (DZB/LTI)
Sistemlerin Fourier Dönüşümü (Fourier transform of LTI systems defined by
difference equations) ...............................................116

xiv İÇİNDEKİLER

7 AYRIK ZAMAN SİNYALLERİ VE SİSTEMLERİNİN FOURIER

ANALİZİ III- AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (AFD), TERS AYRIK

FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (TAFD) VE HIZLI FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (HFD)

[Discrete Fourier Transform (DFT), Inverse Discrete Fourier Transform

(IDFT) and Fast Fourier Transform (FFT)]........................................120

7.1 Ayrık Fourier Dönüşümü (AFD) [Discrete Fourier Transform (DFT)] .............120

7.1.1 Ayrık Bir Sinyalin Fourier Dönüşümü ve Ayrık Fourier Dönüşümü Arasındaki

İlişki (Relation Between Fourier Transform and discrete Fourier Transform) ...........123

7.1.2 Ayrık Fourier Dönüşümünün Özellikleri (Properties of discrete

Fourier Transform)...................................................124

7.1.2.1 Doğrusallık-toplamsallık (Linearity-superposition).................124

7.1.2.2 (Zamanda) Ötelenme özelliği [(Time) Shift property] .........................125

7.1.2.3 Frekansda Ötelenme özelliği (Shift property) ................................125

7.1.2.4 Karmaşık Dizinin Eşleniğininin Ayrık Fourier Dönüşümü

(Discrete Fourier transform of conjugate of a complex sequence)..................125

7.1.2.5 Zamanda Tersinme (Time reversal).........................................125

7.1.2.6 Eşleklik/İkilik (Duality)...................................................................125

7.1.2.7 Ayrık Dairesel Katlanma/Evrişim (Discrete circular convolution) ............125

7.1.2.8 Çarpımın Ayrık Fourier Dönüşümü (Discrete Fourier

Transform of a Multiplication)...............130

7.1.2.9 Bakışım/simetri özelliği (Symmetry property) ......................................130

7.1.2.10 Parseval Teoremi/İlişkisi (Parseval theorem/relation).................131

7.2 Ayrık Fourier Dönüşümü Kullanarak Ayrık Zaman Sistem Analizi ve Ayrık

Frekans (Tepki) Fonksiyonu [Discrete Time System Analysis Using the Discrete

Fourier Transform and Discrete Frequency (Response) Function]..............131

7.3 Hızlı Fourier Dönüşümü-HFD (Fast Fourier Transform-FFT).....................134

8 DETERMİNİSTİK/BELİRLENİMCİ AYRIK SİNYALLERİN İLGİLEŞİM/

KORELASYON FONKSİYONLARI VE FOURİER DÖNÜŞÜMLERİ

(Correlation function and Fourier transform of deterministic discrete signals)........137

8.1 Deterministik/Belirlenimci Ayrık Sinyallerin Çapraz ve Öz İlgileşim

(Cross correlation and auto correlation of deterministic discrete signals.......137

8.1.1 İlgileşim ve Katlanma Arası İlişki (Relation between correlation

and convolution) ...................................141

8.1.2 Ayrık Erke/Enerji Sinyallerinin İlgileşim Fonksiyonları, Ayrık Fourier

Dönüşümleri ve Ayrık Erke İzge Yoğunluğu-Enerji Spektral Yoğunluğu

(Correlation functions, discrete Fourier transforms and discrete energy

spectral density of discrete energy signals...............144

8.1.3 Doğrusal, Zamandan Bağımsız (DZB/LTI) Sistemler ve İlgileşim

Fonksiyonları (LTI systems and their correlation functions) ..................148

8.2 Ayrık Güç Sinyallerinin Çapraz İlgileşimi ve Öz İlgileşimi (Cross correlation and

auto correlation of discrete power signals)...............................149

8.2.1 Çapraz İlgileşim (Cross correlation) ..................149

8.2.2 Öz İlgileşim (Auto correlation)..............................150

9 Z DÖNÜŞÜMÜ VE SAYISAL SÜZGEÇLER

(Z transform and digital filters)................................152

9.1 Giriş (Introduction) ..................................................152

İÇİNDEKİLER xv

9.1.1 Çift Taraflı z-Dönüşümü ve Fourier Dönüşümü Arasındaki İlişki

(Connection between bilateral z transform and Fourier transform)..............165

9.2 Dönüşümüyle İlgili Bazı Teoremler (Some theorems related z transform)...........166

9.2.1 Doğrusallık (Linearity).......................................166

9.2.2 Sağa Öteleme/Gecikme Teoremi (Delay theorem)......................166

9.2.3 an ile Çarpım (Multiplication by............................167

9.2.4 n ile Çarpım (Multiplication by n)...................................167

9.2.5 Zamanda Tersinme (Time reversal)...........................167

9.2.6 Başlangıç ve Son Değer Teoremleri (Initial and final value theorems)......168

9.2.7 Sola Öteleme-Öne Alma Teoremi (Advance theorem)...................170

9.2.8 Katlanma Teoremi (Convolution theorem)..............170

9.2.9 Birikim (Accumulation).............................................................173

9.3 Ayrık Zaman Durumunda Sistem/Transfer Fonksiyonu (System/transfer

function in discrete time case)......................................173

9.4 Z Dönüşümünün Tersi (Inverse z transform).........................174

9.4.1 Çevirge Tümlevi-Kapalı Tümlev/İntegral Kullanarak z Dönüşümünün

Tersinin Bulunması (Obtaining inverse z transform using

counter integration)................................................175

9.4.2 Parçalı Kesir Açılımı (Partial fraction expansion).................178

9.4.3 Payı Paydaya Cebirsel Olarak Bölerek z Dönüşümünün Tersinin

Bulunması-Kuvvet Serileri Açılımı (Long division method or

power series expansion).............................................................181

9.4.4 Z Dönüşümü Kullanarak Fark Denklemlerinin Çözümü (Solution of difference

equations using z transform ................................182

9.4.5 Ayrık Zaman Sistem/Transfer Fonksiyonu, Seri ve Paralel Bağlı Sistemler

(System/transfer function in discrete time case, systems connected in

series and parallel) ...................................................183

9.5 Sayısal/Digital Süzgeçler (Digital filters) .......................................187

10 AYRIK ZAMAN DURUM UZAYI ANALİZİ, DENETLENEBİLİRLİK

VE GÖZLEMLENEBİLİRLİK.............................................195

10.1 Giriş (Introduction)............................................195

10.2 Durum Kavramı ve Durum Uzayı Gösterimi (The concept of state and

state space representation)................................................195

10.2.1 Tek Giriş Tek Çıkış, Doğrusal/Lineer, Ötelemeden/Zamandan Bağımsız

(DÖB/LTI) Sistemler (Single input single output LTI systems) ......

..........196

10.2.2 Çok Giriş Çok Çıkış, Doğrusal/Lineer, Zamandan Bağımsız (DZB/LTI)

Sistemler (Multiple input multiple output LTI systems)....................203

10.3 Tek Giriş Tek Çıkış, Doğrusal/Lineer, Ötelemeden/Zamandan Bağımsız

(DÖB/LSI) Sistemlerin Fark ve Durum Denklemlerinin Çözümü

(Solution of difference and state equations of single input single output LTI systems)....204

10.3.1 Ayrık Zaman Bölgesinde Çözüm (Solution in discrete timedomain)....204

10.3.2 Dizeyinin/Matrisinin Bulunması (Determination of matrix )................205

10.3.3 Sistem/Transfer Fonksiyonu [System/transfer function ]..............210

10.4 Kararlılık ..................................................211

10.5 Denetlenebilirlik.............................................................212

10.6 Gözlemlenebilirlik .........................212